Sunday, 02 October 2016 11:06

Suomen loton uudistus 27.11.2016 – todennäköisyyslaskentaa

Written by

Hei, noin viikko sitten havaitsin lottokupongista että Lotto uudistuu ja se on kaikki mitä minulla on lähtötiedostona. Sen mukaan 27.11.2016 lähtien Lotto uudistuu niin että veikataan 7 päänumeroa 40:stä+1 lisänumero (27.11.2016 saakka ehdot ovat: 7 päänumeroa 39:stä+2 lisänumeroa). Mitä se tarkoittaa todennäköisyyslaskennan kautta? Aloittaen laskennallisesti vaikeammasta päästä ensiksi esitän taulukon, josta voit nähdä peräkkäisten lukujen todennäköisyys kuin puhutaan kaikista mahdollisista 40/7 kombinaatioista (vanhan 39/7 laskelman voitte nähdä tästä): 

Taulukko 1 peräkkäisyys 7/40

N

Jakauma

g (=n. elem.)

r (=n. elem. perm.)

Kombin.

((N-n)+1)!

g!

(34-g)!

Toden.%

1

1+1+1+1+1+1+1

7

1

5379616

2,9523E+38

5040

1,089E+28

28,86

2

2+1+1+1+1+1

6

6

8069424

2,9523E+38

720

3,049E+29

43,28

3

2+2+1+1+1

5

10

2782560

2,9523E+38

120

8,842E+30

14,93

4

3+1+1+1+1

5

5

1391280

2,9523E+38

120

8,842E+30

7,46

5

2+2+2+1

4

4

185504

2,9523E+38

24

2,653E+32

1,00

6

3+2+1+1

4

12

556512

2,9523E+38

24

2,653E+32

2,99

7

4+1+1+1

4

4

185504

2,9523E+38

24

2,653E+32

1,00

8

3+2+2

3

3

17952

2,9523E+38

6

8,223E+33

0,10

9

3+3+1

3

3

17952

2,9523E+38

6

8,223E+33

0,10

10

5+1+1

3

3

17952

2,9523E+38

6

8,223E+33

0,10

11

4+2+1

3

6

35904

2,9523E+38

6

8,223E+33

0,19

12

5+2

2

2

1122

2,9523E+38

2

2,631E+35

0,01

13

6+1

2

2

1122

2,9523E+38

2

2,631E+35

0,01

14

3+4

2

2

1122

2,9523E+38

2

2,631E+35

0,01

15

7

1

1

34

2,9523E+38

1

8,683E+36

0,00

 

 

 

Summa

18643560

 

 

Summa

100,00

Siis todennäköisyys että valituissa 7:ssa päänumeroissa tulee vähintään 2 peräräkäistä lukua jaa korkeaksi 71,14% (rivien 2:15 todennäköisyys summat) tai vastaavasti todennäköisyys että valituissa luvuissa ei ole yhtään peräkkäistä lukua on 28,86% (rivi 1, jakauma 1+1+1+1+1+1+1). Siis yllä annetussa taulukossa ”jakauman” sarakkeella, 2 tarkoittaa yksi pari em. 5ja6, 3 on kolme peräräkäistä lukua em. 23ja24ja25 jne. Näin ollen kombinaatioita joissa on 4 peräräkäistä lukua (ja kolme ilman paria em. 3,4,5,6,21,29,33, rivi 7) on tasan 185 504 ja vastaavasti ne ovat n 1% kaikista kombinaatioista. Sitten laskennallisesti uudistuksen suurin muutos tulee siitä, että pääjoukko kasvaa 39:sta 40:ksi ja näin, kaikkien kombinaatioiden määrä kasvaa 15 380 937:sta 18 643 560:ksi, eli lisää tulee tasan 3 262 623 kombinaatiota. Myös lisänumeroksi valitaan vain 1 numero, joten katsotaan mitä se tarkoittaa eri voittoluokkien todennäköisyyksillä ennen uudistusta ja sen jälkeen. Kommentoin lyhyesti myös tuplausta, jolla voittosi kaksinkertaistuu tuplausnumeron osuessa omalle voittorivillesi. Tuplausnumero valitaan erikseen toisella riippumattomalla valinnalla, vanha 7/39 uusi 7/40, ja maksaa lisää. 

Taulukko 2 - ennen uudistusta

 

A

B

C

D

E

F

G

H

I

 

39/7'

Kom (n;r)

Kom

(N-n;n-r)

Kom (N;n)

Tod.

Tod.tupl.

Voittokom

Voittosuhd.

Voittosuhdtup

1

7

1

1

15380937

6,502E-08

1,167E-08

1

15 380 937,0

85 693 791,9

2

6+1*

7

2

15380937

9,102E-07

1,634E-07

14

1 098 638,4

6 120 985,1

3

6

7

30

15380937

1,365E-05

2,451E-06

210

73 242,6

408 065,7

4

5

21

496

15380937

0,0006772

0,0001215

10416

1 476,7

8 227,1

5

4

35

4960

15380937

0,0112867

0,0020258

173600

88,6

493,6

6

3

35

35960

15380937

0,0818286

0,0146872

1258600

12,2

68,1

7

2

21

201376

15380937

0,274944

0,0493489

4228896

3,6

20,3

8

1

7

906192

15380937

0,412416

0,0740234

6343344

2,4

13,5

9

0

1

3365856

15380937

0,218833

0,0392777

3365856

4,6

25,5

10

tuplker.

0,1795

             1    15380937    

Ennen uudistusta meillä on viisi voittoluokkaa (sarake A), joiden voitto-todennäköisyydet ilman tuplausta on esitetty sarakkeessa E. Puhuen päävoitosta, josta varmaan suurin osaa ihmisistä ovat kiinnostuneet, meidän täytyy arvata oikein kombinaatio jossa on 7 numeroa 39:sta ja sen todennäköisyys on 0,00000006501(eli yksi noin 15,4 miljoonasta) pelaten yhdellä tavallisella rivillä, ja 0,00000001167 (noin yksi 85,7 miljoonasta) pelaten tuplauksella. Siis kärkisääntönä voidaan pitää että tuplauksen todennäköisyys on noin 82% matalampaa tavallista riviä! Sarakkeissa H ja I olen esittänyt voittoluokkien voittosuhdetta, joka on vaihtoehtoinen tapaa hahmottaa niiden laskennalliset voittomahdollisuudet. Siis voittosuhde kertoo voittomahdollisuus per yksi ja sitä voidaan laskea kahdella vaihtoehtoisella tavalla: 1) jakamalla kaikki kombinaatiot (sarake D) voittoluokan kombinaatioilla (sarake G) 2)tai käänteisesti jakamalla 1/voittoluokan vastaavalla todennäköisyydellä (sarake E tai vertailuksi F:)). Niille, jotka haluavat päästä itse taulukon tuloksiin ja ovat unohtaneet miten, ilmaisen asiat näin – taulukossa Komb.= kombinaatio jossa ”n” on valitut numerot (tai veikkauksen 7 oikea rivi :)), ”N” on pääjoukon, tässä tapauksessa 39 numeroa ja ”r” oikein arvatut numerot (tai vaikka oman rivin osumiemme :)).  Ja esimerkiksi päävoitosta ratkaisu Excelillä näyttäsi näin (englanninkielinen esimerkki) ja suomeksi:

 Kombinaatio(7;7)*Kombinaatio(32;0)/Kombinaatio(39;7)= 0,00000006501. Toisin sanoen:

  ((luokan voittokombinaatiot)*(luokan ei voittokombinaatiot))/(kaikki kombinaatiot)=voitto todennäköisyys. Tuplauksen osalta meidän täytyy kertoa jälkimmäinen tuloksen vielä tuplauksen kertoimella joka tässä on Kombinaatio(7;1)/Kombinaatio(39;1)=7/39. Vastaavasti riveillä 2:5 on esitetty muiden voittoluokkien todennäköisyydet.

Taulukko 3 uudistukseen jälkeen

 

A

B

C

D

E

F

G

H

I

 

40/7'

Kom (n;r)

Kom (N-n;n-r)

Kom (N;n)

Tod.

Tod.tupl.

Voittokom

Voittosuhd

Voittosuhdtup

1

7

1

1

18643560

5,364E-08

9,387E-09

1

18 643 560,0

106 534 628,6

2

6+1

7

1

18643560

3,755E-07

6,571E-08

7

2 663 365,7

15 219 232,7

3

6

7

32

18643560

1,201E-05

2,103E-06

224

83 230,2

475 601,0

4

5

21

528

18643560

0,0005947

0,0001041

11088

1 681,4

9 608,1

5

4

35

5456

18643560

0,0102427

0,0017925

190960

97,6

557,9

6

3+1*

35

4960

18643560

0,0093115

0,0016295

173600

107,4

613,7

7

3 tuplaus*

35

35960

18643560

0,0675086

0,011814

1258600

14,8

84,6

8

2

21

237336

18643560

0,2673339

0,0467834

4984056

3,7

21,4

9

1

7

1107568

18643560

0,4158528

0,0727742

7752976

2,4

13,7

10

0

1

4272048

18643560

0,2291434

0,0401001

4272048

4,4

24,9

11

tuplausker.

0,1750

            1    18643560    

Ja uudistuksen myötä, edellä kuvatulla laskutavalla, voidaan todeta että voittomahdollisuudet ovat laskeneet kaikissa vertailuvoittoluokissa, kuten suurin lasku on voittoluokalla 6+1 jopa -58,75% (ilman tuplausta) johtuen etupäässä siitä että nyt valitaan vain 1 lisänumero ja tietysti myös siitä että kaikkien kombinaatioiden määrä on lisääntynyt. Eli puhuen kaikista mahdollisista kombinaatioista (pelatut kerran), sellaisia kombinaatioita joissa uudistuksen jälkeen esiintyy 6+1 on vain 7 (ennen uudistusta olivat 14) ja niitä jaetaan 18,6 miljoonalla (15,4 sijasta). Laskimella jossa on kombinaatioita, normaalisti merkitty nCr, ratkaisu näyttäisi näin: (7C6*1C1*32C0)/(40C7)=0,0000003755 (tai toisin sanoen todennäköisyys on noin yksi 2,7 miljoonasta). Ja jälleen puhuen päävoitosta nyt voittomahdollisuus on laskenut 17,5%, johtuen kokonaiskombinaatiomäärän kasvusta ja on 0,00000005364 (eli noin yksi 18,6 miljoonasta) ja tuplattuvoittomahdollisuus on laskenut 19,56% ja uudistuksen jälkeen on 0,000000009387 (eli noin yksi 106,5 miljoonasta :)). Tuplauksesta mainitsisin vielä että sillä on erikoistapauksia, em. jos tuplausnumero samastuu lisänumeroon, tuplausta ei voi esiintyä 6 oikein (siis silloin jos esiintyy, se on ylemmässä 6+1 voittoluokassa) ja 7 oikein voittoluokissa, mutta silti kärkisääntönä voidaan pitää että tuplaus on nyt 82,5% epätodennäköisempää tavallista riviä (hinnan lisäksi).

Ja tietysti lopuksi uudistuksen paremmat uutiset, siis sen myötä hyvin todennäköisesti tulevaisuudessa jättipotit ja suuremmat voittoluokkien voitot tulevat kasvamaan, koska niitä voitetaan harvemmin (se riippuu myös Veikkauksen tuottoista ja jakotavasta). Uudistuksella tulee myös kaksi lisää voittoluokkaa 3+1 oikein ja tuplauksella 3 oikein, jolla lisätään pienempien luokkien voittotiheyttä. Myös katsoen kokonaisuutta (ilman tuplausta vertailukelpoisuuden vuoksi) uudistuksen jälkeen meillä on 375 880 voittokombinaatiota (Sarake G voittoluokkaan 3+1 saakka, jos niitä on pelattu kaikki kerran), joka suhteutettuna kaikkiin kombinaatioihin 18 643 560 antaa korkeampaa ”kumulatiivista voittomahdollisuutta” (375 880/18 643 560)=0,020161385 (noin 2%). Ennen uudistusta vastaava laskelma on 184 241 /15 380 937=0,01197853 (noin 1,2%). Jolloin toisin sanoen uudistuksen jälkeen suuremmat voittoluokat voitetaan harvemmin mutta suuremmilla voitoilla ja matalammat voittoluokat kumulatiivisesti useammin! Siis lukuun ottamatta minua Suomalainen voittaa aina!

 Ystävällisin terveisin, Rostislav Dinkov

 

Read 851 times
Login to post comments